四元数（Quaternion）是用于旋转和拉伸向量的数学运算符。 本文提供了一个概述，以帮助明确在空间导航等应用步伐中对四元数的需求。
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可以通过多种方式在空间中准确定位、移动和旋转物体。 更熟悉和更容易可视化的滚动（Roll）、俯仰（Pitch）和偏航（Yaw）表示是有范围性的，在某些情况下应该用更强大的四元数取代。 随着对象的位置和方向发生变化，称为四元数的数学工具可用于旋转和缩放原始矢量。
三维空间中的物体可以定位在一个坐标系中，三个数从坐标系的原点延伸到空间中的一点，创建一个位置 r=(x,y,z) 向量。 假如对象的位置发生变化，向量将位于新的位置并且大概具有新的长度。 我们必要一种方法来测量或盘算两个向量之间的变化。
1、Roll/Pitch/Yaw表示法的题目
大多数读者大概都知道，在空间中旋转的物体可以用它们沿三个轴的旋转角度来形貌。 空间中的任何旋转都可以用这些旋转的组合来形貌。
万向节提供偏航、滚动和俯仰运动。
旋转轴并不总是独立的，解也不总是唯一的。 两个万向节的平面大概会对齐，并且会发生称为万向节锁定（gimbal lock）的情况。 在万向节锁定中，三个万向节中的两个是平行或非常接近平行的，最初的三个自由度（偏航、俯仰和滚动）淘汰到两个自由度——两个旋转轴可以形貌雷同的旋转运动。 同时，失去了一个自由度，信息也消散了。 一旦发生万向节锁定，就不大概在没有外部参考的情况下重新定向轴。
当绿色圆圈与红色圆圈对齐或接近对齐时发生万向节锁定
你大概还记得在有关阿波罗 13 号任务的影戏中听到过万向节锁定这个词。 假如万向节锁定发生在爆炸之后，宇航员的惯性测量装置将无法追踪他们在天球中的位置，从而对他们本已绝望的处境产生负面影响。
现在来看看万向节锁背后的数学原理。
读者须知：为了保持在小型装备上的可读性，cos(x) 的全部实例都已替换为 Cx，sin(x) 的全部实例均已替换为 Sx。
围绕单个轴旋转一个矢量 r=(x,y,z) 必要一个旋转矩阵。 上图的三轴云台有三个轴对应三个旋转矩阵。
上面的三个矩阵分别表示：绕x 轴 旋转角度 γ，绕y 轴 旋转角度 β，绕z 轴旋转角度 α 。
上面显示的是三个独立的 3×3 变更矩阵。 （围绕 z-y-z 旋转 α、β、γ 角度的变更）
从数学上讲，3×3 旋转矩阵是三个连续旋转的乘积。
3×3 矩阵连续相乘时会产生一个 3×3 矩阵。 上面显示的是围绕 z-y-z 旋转角度 α、β、γ 。
存在多个转换矩阵，它们可以以各种次序应用。 十二个旋转序列可以分为两类：
- 欧拉角：此中一个旋转轴重复（x-z-x，x-y-x，y-x-y，y-z-y，z-y-z，z-x-z）
- 泰特-布赖恩角，围绕全部轴（x-z-y， x-y-z、y-x-z、y-z-x、z-y-x、z-x-y）旋转
我恣意选择了 z-y-x 变更矩阵来处理下面的示例。
上图是围绕α、β、γ旋转z-y-x的变更矩阵。
当利用 β =π/2 代入 z-y-x 变更矩阵时，万向节锁在我们的示例矩阵中在数学上变得显着（其他变更矩阵在差异条件下失败）。随着角度 β →π /2 以及 sin(β)→0 ，您可以在下面看到对矩阵的简化结果。
上面的矩阵中将π /2 带入β ，得到
可以看到，当 β 接近 π/2 时， cos(π/2) 导致矩阵中的几项变为零。
另一种看待题目标方法是接纳原始变更矩阵（我再次选择 z-y-x）并利用三角恒等式将三角函数内的变量聚集在一起。 留意角度的初始相互依靠性。
替换后，角度之间唯一存在的关系是 α + γ 。
通过固定 β = π/2 ，我们已经消除了 α−γ 的全部情况，断送肯定水平的自由度。
固然很容易想象滚动、俯仰和偏航，但假如你正在筹划一个可以或许自由指向空间中任何方向的系统，终极会遇到万向节锁定。
2、四元数
威廉·汉密尔顿于 1843 年发明了四元数，作为一种允许他对向量进行乘法和除法、旋转和拉伸的方法。
我在下面提出的内容旨在分析，但绝不是数学上严格的。 它应该足以让你在盘算机科学和工程环境的入门级明确四元数。 对于数学课来说，这并不意味着就充足了。 假如你必要更深入的信息，加利福尼亚州立大学富勒顿分校物理学和数学教授 Alfonso Agnew 博士推荐了以下有关该主题的书籍：
- 四元数和旋转序列：在轨道、航空航天和虚拟实际中的应用入门 (Kupiers)
- Clifford 代数和旋量 (Lounesto)
- 可视化四元数 (Hanson)
汉密尔顿的发现是，固然没有显着的方法可以将两组三个数字相乘并除以得到三个数字（大概代表坐标的向量），但可以将两组四个数字相乘并相除并得到四个 数字。 四元数是两组四个数的商，由一个标量和一个向量构成。
此中，
为实数，且
为四元数单位。
恣意两点之间的方向可以用三个数表示，这三个数分别位于 (-1,1) 范围内，其总巨细为 (-1 ≤ x ≤1, -1 ≤ y ≤ 1, -1 ≤ z ≤ 1)并且 √x2+y2+z^2 = 1 。这四个数字一起创建了一个形貌旋转和间隔的四元数。
四元数提供旋转向量所需的信息，只需四个数字而不是旋转矩阵所需的九个数字。
假如你熟悉数学和矩阵符号，请跳至下面的四元数数学，并跳过接下来两节中复数和矩阵数学的复习。
3、复数
拜见 AAC 教科书第 2 卷 — 第 2 章。
发明复数是为相识决没有实数解的题目。 在发明 √-1 之前 ， x^2 = -1这类题目始终无解。 复数可以想象成位于一个平面上，数的实部沿水平轴表示，数的虚部沿垂直轴表示。 在笛卡尔坐标中，它们通常以雷同于 x+yi 或 (x,y) 的情势表示。 两个复数可以相加、相减、相乘和相除。
相加：
相减：
相乘：
相除：
无缩放旋转：
一个例子是 2+3i 逆时针旋转π/2 可以通过与 0+i 相乘得到：
欧拉开辟了一种在复数极平面中旋转复数的方法，汉密尔顿以此为基础建立了他的想法。
固然这远非对复数主题的完备处理，但它通过以下方式为四元数提供了一个垫脚石：
- 复数可以很容易地进行加、减、乘和除，而无需利用三角函数（尽管复数可以用极坐标情势表示或从极坐标情势分别用 cos 和 sin 分解为实部和虚部）。
- 将复数乘以虚数单位“i”产生四分之一圈。 与四元数雷同，将恣意两个四元数单位相乘将导致围绕垂直于两个初始轴的轴旋转。
4、矩阵数学
标量是表示沿公共比例尺或轴的位置的数字。 标量变量没有应用于它们的特别格式。
向量是一个有序数字的列表，形貌了在特定方向上沿尺度的位置。 它被可视化为具有长度和方向的直线。 本文中矢量变量以粗体 r 显示,偶尔会利用上标箭头。 向量可以有两个或更多元素。
多个向量通过差异的变量名或下标来区分。
大概
矢量的长度是从出发点到尽头的直线间隔。 在数学上，它是单个元素平方和的平方根。
矩阵是单个元素的数组，可以乘以向量以对其进行转换。 矩阵可以平移、旋转和缩放向量。 下面显示的是一个通用的 3×3 矩阵
旋转矩阵可以改变向量指向的方向，在空间中重新定向它们。 以下矩阵围绕笛卡尔轴旋转向量而不缩放它们。
 
本节扼要回顾向量和矩阵数学，并与下面的四元数规则进行对比。
5、四元数
如前所述，四元数由一个标量和一个向量构成。
由于标量和向量都存在于四元数中，因此用于处理它们的数学规则是标量和向量数学的组合。
两个四元数相乘的结果是一个新的四元数。
四元数内积是两个四元数对应的实系数相乘得到的标量。
每个四元数都有一个相反数，可以通过仅对四元数的向量部分的系数求反来找到。
四元数通常应始终位于单位球面上。 范数应等于 1。假如你的四元数偏离单位球体，可以将四元数的每个元素除以范数以返回单位球体。
6、结束语
四元数是利用一组有序的四个数字来形貌 3D 空间中的方向或旋转的另一种方法。 它们可以或许唯一地形貌围绕恣意轴的任何三维旋转，并且不会受到万向节锁定的影响。 假如你的应用步伐中的传感器或物体可以或许在 3D 空间中的任何位置移动，那么它们在跟踪物体方面优于欧拉角。
原文链接：四元数快速指南 - BimAnt
来源：https://blog.csdn.net/shebao3333/article/details/130519136
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